Метод контурных токов для расчёта электрических цепей

Для расчёта величин токов в электрических цепях применяются различные алгоритмы, основанные на базовых принципах: законе Ома и законах Кирхгофа. Метод контурных токов (МКТ) — один из таких алгоритмов, позволяющий уменьшить количество уравнений, решая которые получают искомые значения токов, протекающих в отдельных участках цепи.

Базовые принципы

Произвольная электрическая цепь — это набор так называемых ветвей (рёбер), в которых находятся пассивные (резисторы, конденсаторы, индуктивности) и/или активные элементы. Пересечение (соединение) трёх и более ветвей называется узлом. Несколько ветвей могут образовывать замкнутые контуры. Для вычисления величин токов в ветвях применяют законы (или правила) Кирхгофа. Статус «правила» в данном случае корректнее, так как формулы Кирхгофа являются следствием закона сохранения заряда и фундаментальной теории Максвелла.

Рис.1 Графическое представление основных терминов МКТ

Прямолинейный, лобовой, подход подразумевает написание и решение системы уравнений «по максимуму». Пускай число узлов и ветвей равно Nу и Nр соответственно. Тогда потребуется составить следующее число уравнений:

  • Nу -1 для токов (по первому правилу Кирхгофа);
  • Nр - Nу +1 для напряжений по второму правилу Кирхгофа (ВПК).

Понятно, что чем больше уравнений в системе, тем сложнее и дольше будет длиться процесс её решения. Для облегчения расчетов были предложены алгоритмы, позволяющие существенно уменьшить число уравнений. МКТ является одной из таких методик, использующей (Nр - Nу + 1) уравнений по ВПК, дополненных понятием контурного тока — вспомогательной, гипотетической величиной.

Термины, определения и главная идея МКТ

Для расчетов реальных (действительных) значений токов в МКТ было введено дополнительное понятие о фиктивной (виртуальной) величине, названной контурным током (КТ), протекающим (гипотетически) в каждом независимом контуре. КТ имеет одно и то же значение в ветвях данного контура.

КТ вычисляются с помощью решения уравнений, которые формируются согласно ВПК для всех независимых контуров. Искомые значения токов в ветвях вычисляются простым сложением полученных величин КТ со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от направления.

Расчёт действительных токов в электрических цепях с помощью МКТ производится в следующей последовательности:

  1. Проектируется (рисуется) принципиальная электрическая схема.
  2. Фиксируются все самостоятельные контуры.
  3. Задаётся (обозначается) направленность каждого КТ (по часовой стрелке либо наоборот). Для обозначения и нумерации КТ используются двойные индексы, например, I11, I22, I33 ...
  4. Для каждого контура, согласно ВПК, пишется уравнение, где неизвестным параметром является соответствующий ток IKK. В уравнения должны быть учтены присутствующие цепи источники тока и ЭДС.
  5. В совпадающих ветвях, принадлежащих двум соседствующим контурам, протекают два КТ. Поэтому вклад в падение напряжения на нагрузках в подобных ветвях будут вносить оба тока, что должно быть отражено в уравнении.
  6. Далее полученный набор уравнений (система) решается с помощью того или иного математического алгоритма. В результате получаем все значения КТ.
  7. Вводятся обозначения реальных токов ветвей и задаются их действительные направления. Во избежание путаницы можно использовать, например, такие буквы и индексы: J1, J2, J3 или J1, J2, J3.
  8. Используя найденные величины КТ, вычисляем искомые токи, которые равны алгебраическим (с учётом знаков) суммам КТ.
  9. При суммировании следует учитывать, что КТ, совпадающий по направлению с настоящим током, прибавляется «плюсом», а несовпадающий — с «минусом».

Способы построения контуров

Тщательное обозначение контуров позволяет задать минимальный набор КТ. Любой элемент схемы должен быть представлен хотя в одном контуре. При построении используются два основных метода:

  • планарных графов;
  • выделения максимального дерева.

Применение планарных графов

Различают планарные и не планарные электрические цепи. Планарная цепь может быть отображена на плоскости в виде схемы, у которой ветви не пересекаются. Это позволяет скомпоновать (определять) отдельные, замкнутые участки, называемые контурами. Не планарная цепь не может быть представлена плоской схемой с неперекрещивающимися ветвями. Планарные графы востребованы при вычислениях «вручную» в силу своей наглядности и простоты. Если схема не поддаётся планарному представлению, то данная методика неприменима.

Выделение максимального дерева

Данный математический метод разработан для компьютерных расчётов с помощью соответствующего программного обеспечения. Основная идея метода состоит в изъятии отдельных ветвей в соответствии с жёстким алгоритмом:

  • На каждом этапе может быть изъято не более одной ветви.
  • Изъятие не должно разбивать граф на отдельные куски или приводить к «зависшим узлам».
  • Число исключённых звеньев должно быть эквивалентно числу независимых контуров.
  • Подключение ранее изъятой ветви формирует соответствующий контур.

Последовательность формирования системы уравнений

Набор (система) уравнений для нахождения действительных токов ветвей в МКТ строится следующим образом:

  • В каждом контуре необходимо задать направление движения КТ. Например, как показано на Рис.1 и Рис.2.
  • Для каждого контура составляется одно уравнение в соответствии с ВПК.
  • Левая половина уравнения — это сумма произведений токов на сопротивление веток. В правой половине суммируются значения источников напряжений, присутствующие в данном контуре.
  • Слагаемое в уравнение входит со знаком «плюс», если направленность КТ или источника тока совпадают с исходно выбранным направлением. В противном случае — со знаком «минус».
  • После подстановки числовых значений сопротивлений и ЭДС получится набор уравнений, результатом решения которой будут значения виртуальных КТ.
  • Далее истинные величины токов в ветвях вычисляются элементарно с помощью простых алгебраических операций.

Оптимизированная процедура построения системы

В общем виде процедуру построения системы уравнений состоит из следующих этапов:

1. Для N-го контура в левую половину N-го уравнения заносят JN (величина КТ, умноженная на сумму всех сопротивлений данного контура):

JN (RN1 + RN2 + ...) + ...,

где JN — ток контура, RN1, RN2...RNn — сопротивления, присутствующие в данном контуре.

2. Из левой половины уравнения вычитаются прочие КТ, умноженные на суммы сопротивлений, по которым N-й контур имеет пересечения:

... - JA (RNA1 + RNA2 + ...) - JB (RNB1 + RNB2 + ...) - ...,

где JA, JB — ТК, пересекающиеся с N-ым контуром; RNA1, RNA2 — сопротивления участков, входящих одновременно в контуры N и A.

3. Правая половина уравнения представляет собой сумму ЭДС-источников данного контура:

... = ± EN1 ± EN2 + ...

С «плюсом», когда обход контура и направление ЭДС совпадают, и с «минусом», если они разнонаправленны.

4. К правой половине также прибавляются произведения величин источников тока на сопротивление соответствующего участка цепи (знаки «плюс» или «минус» выбираются по аналогии с п.3):

... ± IA1 RN1 ± IA2 RN2 ± ...

Написав уравнения для всех независимых контуров, получим искомую систему (Nр - Nу + 1) уравнений для нахождения такого же числа неизвестных контурных токов.

Формальный подход

Система уравнений для МКТ, записанная в матричном представлении, называется формальным подходом. Для расчётов необходимы следующие матрицы:

  • С — состоит из i строк и j столбцов, где i — число строк, j — число столбцов;
  • Z — диагональная матрица сопротивлений, число строк и столбцов равно числу ветвей;
  • Сt — транспонированная С-матрица. В транспонированной матрице строки и столбцы меняются местами;
  • I — матрица КТ (состоит из одного столбца);
  • J — матрица-столбец — источники тока;
  • E — матрица-столбец, содержащая ЭДС-источники с тем или иным знаком.

Окончательное уравнение для расчётов в матричном представлении имеет следующий вид:

С * Z * Сt * I = С * (E + Z * J)

Пример использования МКТ

Рис.2

На Рис.2 изображена двухконтурная схема с четырьмя резисторами и двумя источниками напряжения. Применим МКТ для определения реальных токов J1, J2, J3. Пускай R1 = R2 = 4 Ом, R3 = 1 Ом, R4 = 3 Ом, Е1 = 24В, Е2 = 12 В.

Следуя МКТ, сформируем два уравнения. Пускай контурные токи I11 и I22 двигаются по часовой стрелке, тогда:

  • I11 * (R1 + R2) - I22 * R2 = Е1 - Е2
  • - I11 * R2 + I22 * (R2 + R3 + R4) = Е2

Подставив численные значения резисторов и источников напряжений, получим:

  • I11 * 8 - I22 * 4 = 12
  • - I11 * 4 + I22 * 8 = 8

Далее получаем: I11 = I22 = 3 А. На следующем этапе перейдём от КТ к настоящим токам. В первой ветви течет единственный КТ — I11, совпадающий с J1 по направлению, откуда следует: J1 = I11 = 3 А. Во второй ветке настоящий ток образуется из I11 и I22.

Поскольку I22 совпадает по направлению с J2, а I11 противоположен J2, то: J2 = I22 - I11 = 3 A - 3 A = 0 А. Через третью ветвь проходит единственный КТ I22, противоположный реальному, значит, J3 = - I22 = - 3 А. Итак: J1 = 3 А, J2 = 0 А, J3 = - 3 А.

Заключение

МКТ позволяет существенно упростить нахождение точных значений токов путем уменьшения числа уравнений. Следует заметить, что данная методика не работает, если в электрической схеме присутствуют пересекающиеся ветви.

Понравилась статья? Расскажите друзьям:
Оцените статью, для нас это очень важно:
Проголосовавших: 1 чел.
Средний рейтинг: 5 из 5.

Оставить комментарий:

Отправить

Полезные сервисы:

Опрос: Насколько Вам помогла информация на нашем сайте? (Кол-во голосов: 2018)
Сразу все понял
Не до конца понял
Пришлось перечитывать несколько раз
Вообще не понял
Как я сюда попал?
Чтобы проголосовать, кликните на нужный вариант ответа. Результаты