Векторная диаграмма токов и напряжений

Большинство физических процессов имеют динамический характер, когда измеряемые параметры (напряжение электрического поля, сила тока, отклонения маятника или струны) изменяются во времени с определённой частотой повторения. Математический аппарат, применяемый для описания таких колебательных явлений, базируется на использовании гармонических функций, имеющих синусоидальный (или косинусоидальный) вид.

• Разновидности векторных диаграмм
• ВД в комплексном представлении
• Примеры применения
• Построение ВД напряжений и токов
• Заключение

Оказалось, что гармонические колебания можно наглядно описывать в графическом виде с помощью векторных диаграмм (ВД). Колебательный процесс представляется в виде проекции вращающегося вектора на координатную ось (обычно на ось абсцисс Х в прямоугольной системе координат).

Разновидности векторных диаграмм

Основные понятия и обозначения

Колебания — это повторяющийся процесс изменения какой-либо системы (механической, электрической, акустической, тепловой, оптической) вблизи точки равновесия. Типичные примеры:

• колебания механического маятника;
• повторяющиеся изменения тока и напряжения в электрическом колебательном контуре;
• звук, издаваемый музыкальным камертоном.

В общем виде гармоническое колебание описывается формулой:

A(t) = A₀ * sin⁡(ω * t +φ₀) или

A(t) = A₀ * cos⁡(ω * t + φ₀), где:

• A(t) — физическая величина, изменяющаяся во времени.
• A₀ — амплитуда данной величины.
• ω — угловая (циклическая) частота колебаний.
• t — время.
• φ₀ — начальная фаза.

Когда возникает задача сложения нескольких колебаний, то аналитическое (в виде формул) представление не позволяет судить о действующих соотношениях величин, так как они являются функциями времени. Изображение колебаний (величин A(t)) в виде векторов на плоскости, позволяет добиться наглядности и упрощает анализ количественных параметров системы. При этом колебания совершает проекция на ось абсцисс радиуса-вектора величины A(t) в данный момент времени.

Пускай имеется система, в которой есть два гармонических колебания B₁(t), B₂(t) с равными частотами ω₀. Например, это могут быть токи в электрической цепи или колебания грузиков на пружинках в механической системе. Чтобы получить суммарное колебание, необходимо сложить два выражения: B₁(t) = B₁ * cos(ω₀ * t + φ₁) и B₂(t) = B₂ * cos(ω₀ * t + φ₂)

Отложим на плоскости вектора B₁ и B₂ (см. Рис.2). Сумма этих векторов равна:

Рис.1

Видно, что проекция вектора В на ось X равняется сумме проекций на эту ось векторов B₁ и B₂. Значит, проекция вектора B есть ни что иное, как результирующее колебание. Суммарный вектор вращается с угловой частотой ω₀, значит, в результате получаем гармоническое колебание с амплитудой B и начальной фазой φ₀ = φ₂ - φ₁. Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

B² = B²₁ + B²₂ - 2 * B₁ * B₂ * cos(φ₂ - φ₁)

tg φ₀ = (B₁ * sin φ₁ + B₂ * sin φ₂) / (B₁ * cos φ₁ + B₂ * cos φ₂)

Рис.2

Видно, что векторное представление позволяет суммировать несколько колебаний с помощью наглядной процедуры сложения векторов.

Типы ВД

Существует два основных типа диаграмм: точные и качественные.

• Точные формируются на базе полученных результатов, задающих реальные величины и направления векторов. В итоге можно геометрически получить значение сдвигов фаз и амплитуды искомых величин.
• Качественные ВД позволяют сделать начальные оценки о соотношении сравниваемых величин (например, токов в разных ветвях) без учёта числовых значений.

Качественные ВД являются одним из основных инструментов при анализе электрических цепей, наглядно иллюстрирующие положение искомого вектора.

ВД в комплексном представлении

Для построения ВД может также применяться математический аппарат, базирующийся на понятии о комплексных числах. Напомним, что комплексным числом Z называется выражение: Z = a + b*i, где a и b – действительная и мнимая части комплексного числа, i – мнимая единица (i² = -1). Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Рис.3

Кроме алгебраической формы, применяется ещё два варианта записи: Z =|Z| * cos⁡(φ)+ i * sin⁡(φ) — тригонометрический, Z = |Z| * e^iφ — показательный.

Последний вариант называется формулой Эйлера в честь великого математика, который предложил и обосновал эту формулу в XVIII веке. Комплексное представление гармонических колебаний позволяет упростить сложные тригонометрические вычисления наглядными и менее громоздкими действиями с показательными функциями. Графические ВД, рассмотренные ранее, можно считать аналогом (вариантом) представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел.

Примеры применения

Гармонический осциллятор в механике

Механическая система, будучи выведенная из равновесия, при определённых условиях начинает совершать гармонические колебания под действием возвращающей силы. Такая система называется гармоническим осциллятором. Классические примеры механического осциллятора:

• Груз на пружинке, лежащий на горизонтальной поверхности без трения.
• Груз на пружинке, подвешенный вертикально в поле силы тяжести.
• Математический маятник.
• Физический маятник.
• Торсионный (крутильный) маятник.

Системы, в которых происходят гармонические колебания, имеют два основных признака:

• После выведения из равновесного состояния возникает возвращающая сила (внутренняя), способствующая возврату системы в равновесие.
• Величина возвращающей силы F должна быть прямо пропорциональна смещению от точки равновесия x.

F = m*a = -k * x, где: a — ускорение, m — масса, k — константа (модуль упругости).

Поскольку ускорение — это вторая производная координаты точки по времени x ̈ , то дифференциальное уравнение, описывающее поведение гармонического осциллятора будет: x ̈ + ω²₀ * x = 0, где: ω²₀ = k/m.

С помощью универсального уравнения удаётся описать не только механические явления, но и акустические колебания, и электрические (переменный ток, напряжение), а также колебания электронов внутри атомов. Решения данного уравнения представляют собой выражения аналогичные: X(t) = X₀ * sin⁡(ω * t +φ₀) или X(t) = X₀ * cos⁡(ω * t + φ₀)

Свободные гармонические колебания без затухания

Из выражений следует, что гармонический осциллятор совершает свободные гармонические колебания с частотой: ω₀ = √(k/m). Период колебаний: T = 2*π* √(m/k), где π=3,14. Свободные гармонические колебания в графическом представлении с помощью ВД изображаются вращающимся с частотой ω₀ вектором А (Рис.4).

Рис.4

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

Гораздо чаще требуется решать задачи, в которых на осциллятор накладывается действие внешней силы, а также имеет место затухание колебаний в связи с наличием силы трения.

m * x ̈ = - k * x - β * x ̇ + f(t), где в правой части уравнения:

• первый член — возвращающая сила упругости;
• второй член — сила, обусловленная вязким трением, пропорциональная мгновенной скорости тела x ̇;
• третий член — сила внешнего воздействия на систему, которая зависит только от времени t и не зависит от координаты x.

Из высшей математики известно, что любую функцию можно представить (разложить) в виде ряда или интеграла Фурье. Значит, решение уравнения может быть сведено к решению с синусоидальной силой:

f(t) = f₀ * cos⁡(ω * t)

Метод ВД в данном случае применяется в следующей последовательности:

• Одномерные, зависящие от времени величины (x, x ̇; x ̈, f) формально заменяются на двумерные векторы. Векторы должны быть подобраны так, чтобы двумерное движение было исключительно вращательным.
• Для выполнения этого условия необходимо, чтобы сумма сил, оказывающая воздействие на осциллятор, была устремлена к одной точке (центр вращения), а количественно равнялась произведению массы осциллятора на центростремительное ускорение.
• Далее составляются уравнения для модулей векторов (амплитуды колебаний) и на углы векторов, то есть фазы.
• Вращение должно проистекать вокруг точки равновесия, которую следует поместить в начало координат.

Чтобы ускорение было направлено к точке равновесия, необходимо выполнение двух условий для выполнения составляющих (радиальной f_r и перпендикулярной f_p) сил и ускорения по оси вдоль радиуса-вектора по оси ей перпендикулярной. Два условия дают два уравнения:

m * ω² * r = k * r - f_r

f_p - β * ω * r = 0

В результате решения данных уравнений получают выражение для амплитуды колебания при заданной величине вынуждающей силы f:

Рис.5

Из отношения компонент силы f_r и f_p можно найти тангенс угла, под которым вектор силы на ВД наклонён к радиусу-вектору. Таким образом, будет найден сдвиг фазы колебаний x относительно фазы колебаний внешней силы f.

Метод ВД для расчёта электрических цепей

Чаще всего метод ВД применяется при расчётах электрических цепей. В принципе использование комплексного представления для гармонических колебаний более эффективно, чем классическое построение ВД, так как позволяет анализировать схемы любой сложности, состоящие из резисторов, индуктивностей и конденсаторов. К достоинствам ВД следует отнести доступность в приобретении навыков расчёта, в то время как математический аппарат комплексных чисел требует дополнительных знаний.

Самые распространённые случаи использования ВД для анализа — электрические схемы, в которых применяются пассивные элементы: резисторы, конденсаторы, индуктивности. С помощью ВД получается расчётная формула, при этом сама ВД выполняет роль чертежа-схемы, геометрическим способом иллюстрирующего поведение токов в цепи.

Для того чтобы не использовать комплексное представление, было введено понятие реактивного сопротивления конденсаторов и катушек индуктивностей. Это связано с физическими особенностями протекания переменного тока через эти схемные элементы. Основные формулы, связывающие токи и падения напряжений на элементах:

• Падение напряжения на обычном (пассивном) сопротивлении: U_R = I * R, где: I — ток, R — сопротивление.
• Для конденсатора: C*U_C = ∫Idt, где: C — ёмкость, U_C — падение напряжения на ёмкости. U_L = -L * dI/dt , где: L — индуктивность, U_L — напряжение на индуктивности.
• Синусоидальный ток: I(t) = I₀ * cos⁡(ω * t + φ₀) , где: ω — угловая частота, φ₀ — начальная фаза. Тогда напряжение на конденсаторе будет:

Рис.6

Напряжение на индуктивности будет:

Рис.7

Формулы для вычисления напряжений на конденсаторе и индуктивности напоминают классический закон Ома за исключением двух отличий:

• пассивное сопротивление R не вызывает сдвига фазы относительно тока;
• напряжение на конденсаторе UC отстаёт по фазе на 900;
• напряжение на индуктивности UL опережает ток на 900.

На основании последних двух формул вводится понятие реактивного сопротивления Z:

Z_C = 1/ωC — реактивное емкостное сопротивление.

Z_C = ωL — реактивное индуктивное сопротивление.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — это математическая операция, позволяющая разложить функцию с вещественной переменной на отдельные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Хорошей аналогией в данном случае служит аккорд на музыкальном инструменте, который состоит из нескольких отдельных звуков (нот) определённой частоты. На выходе преобразования получается набор частот (спектр), присутствующих в сигнале и пропорции амплитудных величин.

Преобразование Фурье вещественной функции u(t) задаётся следующей формулой:

Рис.8

где: u(t) — исходный сигнал, U(f) — изображение по Фурье, параметром которого выступает частота.

Рис. 9

Эта математическая операция разлагает исходный сигнал на гармонические составляющие (гармоники). При исследованиях частотных спектров применение ВД в некоторых случаях позволяет получить результаты с хорошей точностью простыми средствами. Помимо этого, ВД полезны в иллюстративном плане для качественного понимания формальных вычислений.

Дифракция

Дифракцией в физике называют отклонение световых (электромагнитных) волн от распространения по законам геометрической оптики. При определённых соотношениях длины волны и параметров среды наблюдаются отклонения от прямолинейного распространения, возникает огибание препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Частным случаем является дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах), когда световой источник и точка, где проводятся измерения (наблюдения), бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Как и в предыдущих случаях возникает задача суммирования синусоидальных волн с равными амплитудами, но сдвинутых по фазе на одинаковую величину (предыдущая с последующей). Фазовые сдвиги пропорциональны синусу угла.

Значит, может использоваться метод ВД, в котором каждая синусоида будет представлена вектором. В результате образуется ломаная линия, вписанная в окружность. Переходя к пределу, получится дуга окружности. Суммирующий вектор — это хорда полученной дуги, длина которой рассчитывается по известным геометрическим формулам.

С помощью ВД возможно качественно изучить переход от чисто фраунгоферового случая к более реальному, когда точка наблюдения приближается к щели. Длины векторов становятся неравными, но примерно можно оценить, как изменяется картина, пока расстояние уменьшилось не очень сильно.

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.

Напряжения на элементах схемы — U_R, U_L, U_C. Ток в цепи — i.

Напряжение на выходе U = U_R + U_L + U_C.

Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:

|U|_R = R* |i|

|U|_L = 1/ωC*|i|

|U|_С = ωL* |i|

Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = U_R + U_L + U_C, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.

Модуль суммарного вектора равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике со сторонами |U|_R, (|U|_L - |U|_С). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно вычислить |U|:

|U|² = U_R² + (U_L - U_C)²

Применив формулы, указанные выше, получим:

|U|² = (i₀ * R)² + (i₀ * ωL - i₀/ ωC)²

Можно вынести за скобки i₀ (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:

|U|² = i₀² * (R² + (ωL - 1/ ωC)² 

Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Заключение

Приведённые примеры демонстрируют универсальность применения метода ВД для решения разных физических и технических задач. Синусоидальные, повторяющиеся процессы происходят и в других областях знаний (химических и биологических системах). Наглядность и простота использования хорошо сочетаются на начальном этапе обучения, позволяя в дальнейшем перейти к освоению более сложного аппарата комплексного представления гармонических сигналов.